提要 国内外现有的数概念研究存在三点不足：其一，以数概念发展为课题的居多，涉及数概念发生的研究颇少；其二，一般以2岁以上的儿童为对象，顾及2岁以下儿童者很少；其三，大多以横向测试为手段，进行纵向追踪的极少。本研究的选题则是数概念的发生，择取的对象为0—2岁的儿童，采用的方法是以纵向追踪为基础的横断测试。通过研究，归结出数概念发生的一般规律，概括出发生各阶段的基本特点，分析了数概念发生的诸种影响因素，并探讨了性别差异及个别差异的问题。
一、研究目的
数概念的发生是未来数概念的基础。它不仅涉及认知发展的理论问题，也关系到数概念早期教育的实践问题。目前，国内外学者对此问题持有两种不同的观点，且争论不休。一种观点认为，数概念的发生先以对少量数的完形认识为起点，其后才能点数。苏联的梅钦斯卡娅就指出，儿童在初步掌握语言之后，对感知集合的数量就能用不确定的数词来表达，从而产生了“基数”的萌芽。美国的克拉赫（Klahr）、华莱士（Waliace）等人的实验也证实：年幼儿童只能整体地掌握小数值的数，但他们不会数小数值的数。我国学者刘范等人也支持这一观点。与之相左的观点则认为，儿童先始于数数，再会认数。美国的盖尔曼（Gelman）就抱此看法。然而，无论是认同哪一种观点的学者，其研究皆以2岁以上的儿童为对象，确信数概念的发生不早于此年龄。而本研究选择的对象年龄却是0—2岁，以探讨数概念发生的基础与渊源，了解数概念发生的早期规律，提出我们对有关问题的看法。
二、研究方法
（一）对象、步骤与方法
随机选择1989年3月至5月出生的男女儿童各10人，自他们7个月起追踪至2岁。取得原始材料后，归结出0—2岁儿童数概念发生的基本规律。为验证初步结论，随机抽取1岁、1岁半、2岁三个年龄组的儿童各30名，男女对半，且组间年龄差异不超过三个月，家庭教育条件分良好、一般、较差三种，实施诸项测试后，对测得数据进行统计处理与理论分析。
（二）测试材料
A项测验L向儿童同时出示两块饼干，一块完整，另一块有缺口，提示儿童挑选其一。B项测验：要求儿童从1至10唱数。C项测验：给儿童呈现1至10的数字卡片，让他们认数。D项测验：可以任何一个儿童熟悉或喜爱的实物提问：“这是几个?”智力测验：斯坦福—比纳智力量表（S-B量表1972年修订版）。
三、研究结果
（一）各年龄组通过各测验的步次水平
表1各年龄组在四个测验上的通过率（%）
测验项目
1岁
1岁半
2岁
A
53
83
99
B
6
57
67
C
6
50
63
D
3
10
57
表1说明：1岁组在各项测验中，唯a项通过，可初步知觉多少概念；1岁半组可达到B、C两项测验的水平，进行最简单的唱数和认数；2岁组在D项测验中成绩良好，能在实物支持下理解1的意义。表1也说明：四项测验的难度次序由低到高为A→B,C→D，它代表不同层次的数概念水平，即模糊的多少概念→机械唱数与图形辨数→具体1。
（二）不同教育条件对各测验项目通过率的影响
表2不同教育条件下各年龄组在各测验上的通过率（%）比较
教育条件
1岁
1岁半
2岁
A
B
C
D
良好
60
80
70
80
一般
50
50
50
50
较差
50
40
30
40
从表2看出，B、C、D三项测验的成绩在很大程度上受制于教育的条件，良好教育条件下的测验成绩与一般或较差教育条件下的测验成绩存在质的差异，经X2检验均达显著或非常显著的水平；但在A项测验中，三种教育条件下的通过率并无真实差异，这只能说明初步多少概念的产生与后天的教育关系较小。
（三）智力与测验成绩的关系
表3智商与各测验成绩的点二列相关
测验项目
A
B
C
D
相关系数
0. 89
0. 42
0. 69
0. 83
表3的数据表明，智商与各项测验的成绩存在一定的相关。其中，以A项测验与智商的关系最为密切，相关系数达。. 89，可见该测验的智力成分较高；B项测验则与智商相关较低，仅0. 42，说明通过该侧验将更多地依赖于其它因素或条件，而非自然禀赋。
（四）各年龄组在确定测验上通过率的性别差异
表4各年龄组男女儿童在各测验上的通过率（%）比较
年龄组
1岁
1岁半
2岁
测验项目
A
B
C
D
性别
男
女
男
女
男
女
男
女
通过率
53
53
40
73
47
53
60
53
统计检验结果
P.01
P. 05
P. 05
表4说明，除B项测验成绩女童显著高于男童外，其余三项均无本质差异。
四、分析与讨论
（一）数概念发生的一般规律及各阶段的特点
追踪法提供了观察儿童数概念从萌芽至生成整个进程的条件，使我们初步总结出0—2岁儿童的数概念发生经历了三个阶段：原始的多少概念（1岁左右）、机械唱数及图形认数（1岁半左右）、理解具体1（2岁左右）。正是依据这一雏论而设计了相应的横向测验，测验结果反过来验证了迫踪结论的正确性。
1、以自我为中心的、原始的多少概念阶段。
1岁左右的儿童能对数量不多且差异较大的多与少或大与小作出笼统的认知，可优先选择出多的或大的那一方。该阶段有三个特点。
（1）原始性。限于笼统水平范畴的多少概念的出现，带有更多的原始意义，似乎是与生俱来的，因为教育对它的作用极不明显。表2的数据便是证明，表3的相关研究则为此提供了进一步的佐证。
（2）有限性。儿童对多少概念的认知水平是极其有限的。首先，他们只能对容量较小的多与少作出判断，对容量大些的就不能完成。如将只有一块糖的一组和有四块糖的另一组呈现给儿童，他们会择取较多的后者；若要求儿童在含有10块糖的一组和包括15块糖的另一组之间选定其一，他们就茫然无措。其次，他们仅能对差异较大的二者加以识别，对悬殊较小的则不能实现。这与他们差别感受性的较低水平和知觉的笼统性密切关联。再次，他们对两组对象的辨认尚有可能.而对两组以上的认知则有困难。
（3）自我中心性.儿童总是以自身为参照系、从“利我”的角度来认知多少概念的。比如，给予儿童一块完全的饼干和另一块原本与之等大但现有一缺口的饼干，经过权衡，儿童会保留前者而放弃后者。据我们的调查，这一“利我”的行为与家庭教育的要求互相悖离，并非成人在平时就是这样去教导他们的。
我们以原始多少概念的出现作为数概念发生的第一阶段，与克拉赫、华莱士的观点有着某些相同，但又比他们提出的产生年龄要早，而与那种认为儿童的数概念起端于点数或认数的主张大相径庭。我们以为，真正的数概念是以精确性为特征的，但精确性又是来源于模糊性并且是在抛弃了模糊性的基础上产生的。原始的多少概念事实上就是一种模糊的、基础的数概念，真正的数概念需以它为奠基。如此说来，原始的多少概念至少可算作数概念的萌芽与前奏。
2、以语音为中心的唱数及以图形为中心的认数阶段。
1岁半左右的儿童，能在成人的教导下唱数并认数1-—5甚至1—10的数字，但水平不高，具体表现为以下特点。
（1）唱数的机械性和语音中心性。儿童唱数时，犹如唱歌一般，只是机械地吟唱数字的字音。若从中间打断，他们常常难以继续;若指定从某数开始，他们往往不能遵令而需自1数起。显然，儿童并不理解所“唱”的数概念，更不清楚有关数序的知识。因此他们学习唱数时，1→10,11→19,21→29、……的难度较小，而10→11、19→20→21、29→30→31、……的难度较大。
儿童语言器官的发展水平也影响着唱数的水平。因为没有语言器官成熟提供的可能，唱数便无可能，表4就展现了这样的事实：1岁半组男童的唱数水平显著比女童低。这是由于在该年龄阶段上，男童的语言发展晚于女童，语言水平也相应地低于女童，倘若有良好教育的配合，唱数水平就较高；语言发展迟缓的儿童，纵然教育到位，唱数也未能实现。
（2）认数的图形中心性。儿童的认数能力很大程度上取决于图象记忆能力。个案调查表明，儿童图象视觉的发展存在较大的个别差异。有的儿童善于识图认字，认数能力也较强；有的却发展滞后，认数水平也较差。但一般儿童在具体形象的支持下，能够掌握10以内的数字字形。如.以“1字象筷子，2字象小鸭，3字象耳朵，4字象小旗，5字象钩子，6字象豆芽，7字象拐杖，8字象麻花”等作以形象的比喻，那么抽象的数字字形便转化为生动的实物图形，儿童就可在形象的水平上认知数字的字形。因而，这种认数以图形为支点、为中心。
有些学者以儿童出现唱数或认数作为数概念产生的起源。的确，数音与数形是数概念的外壳，那么把掌握数概念的形式称为数概念的开始，似乎是有道理的。然而，如果承认这一点，将更无法否认:原始的多少概念牵涉数概念的内涵，既然如此，能够达到认知模糊的数概念便更有理由当作数概念发生的前奏。
3、以单向思维为中心的、理解具体1的阶段，它标志着数概念的诞生。
儿童到了2岁左右，能在具体形象的支持下来理解1，将1与现实中的一个实体对应起来，知道“这是一个人”、“这是一个苹果”等等。并且他们的理解带有单向思维的特点，也即，儿童能将客观事物从量的范畴上划成两类：1与非1。如，儿童指着一本书说：“这是一个书”，指着其它两本或两本以上的书说：“这是多多的书”或“这不是一个书”；若成人进一步提问:“这些多多的书到底是几本.你数数好吗?”儿童则回答:“这就是多多的书”。这与他们在日常生活中的认知方式是相互对应的.即，他们可把客观事物从质的范畴上也分为两类:是与非。譬如，成人给儿童一只梨，并说：“吃吧，这只梨挺好吃的”，儿童会马上指着另一些梨说：“这个梨不好吃”。这种“非此即彼”的单向认知方式有其合理性成分，但未免失于粗糙和绝对。随着多维思维方式的形成，认知的精确性才可能出现，更复杂的数概念才可能随之产生。
将掌握具体1视为数概念产生的标志是有充分依据的。因为作为标志的东西当属该事物质的规定性。而唱数与认数只旁及数概念的形式，它们甚至不如原始的多少概念更贴近数概念的实质。可遗憾的是。原始的多少概念又不过是一种笼统模糊的、较低水平的数概念。尽管1是最简单的数概念，但它毕竟就是数概念本身，而理解了它，就是认识了它的内涵及实质。因此.数概念的正式产生应以理解1为标志。
（二）影响数概念发生的因素
数概念的发生可归因于智力、成熟和教育三个因素。
1、智力、成熟和教育的交互作用。
智力是儿童数概念发生的先决条件，这已是众所周知的事实，也正是基于这一原因，才导致了表3所看到的智商与除B项外的三项测验的较高相关。不过，智力对数概念发生所起的作用却离不开成熟与教育的合力协助，即使再聪明的儿童，倘若没有发展成熟，假如没有良好的教育，仍然不能产生数概念。
成熟是数概念发生的必要条件，否则将无法解释表1的结果，如，为什么1岁半组的儿童大多可过A项、半数通过B项、仅极个别者达到D项的水平?据调查，曾有许多家长试图在这一年龄阶段给孩子传授更加复杂的数概念知识甚至加减运算的方法，但几经努力都未成功，其根源就在于儿童尚未达到一定的成熟水平。当然，这绝不意味着我们可坐等数概念的自然长成，因为，没有智力这一前提因素（如儿童是个白痴），也没有教育这一外在条件（如根本就不授予儿童任何数概念的知识），那么还何谈数概念的产生?
教育是数概念发生的重要条件，这从表2便可窥一斑。然而，教育也不是无条件起作用的，它需以智力和成熟为基础。
总之，无论将哪一个因素提取出来，孤立地看待它在儿童数概念发生中的作用，都是偏颇的。因为它们不能单独奏效，只有它们的彼此交融才决定着儿童数概念的发生。
2、智力、成熟和教育的不同作用。
应该说明的是，承认智力、成熟和教育的交互作用在数概念发生中起决定作用，并不是将三个因素等量齐观。因为三者在数概念发生的各个阶段上所起作用的大小不尽相同：在一个阶段上，或许这个因素作用较大;在另一阶段上，或许那个因素作用明显。如，在原始的多少概念阶段，智力与成熟发挥着巨大的作用;在唱数与认数阶段，教育则产生着重要的决定性影响；而在理解具体1这一阶段，成熟、智力和教育皆占主导地位。
（三）其它两个问题
1、性别问题
除唱数阶段存在性别差异外，其它阶段均无显著的性别差异，说明性别不是影响儿童数概念发生的关键因素。
2、个别差异问题
在数概念的发生上，儿童的个别差异极大。有早在8个月就出现笼统多少概念的，也有迟至2岁方开始产生的，有的儿童1岁半时已能较好地唱1→30的数，且会点1→10的数，而有的儿童2岁时连5以内的唱数亦不能完成；多数儿童唱数先于认数而出现，但也有发展次序与之逆转的；2岁后仍不能掌握1的儿童确有人在，可2岁时已能理解5并会做5以内实物加减运算的也非仅有。
五、结论
（一）0-2岁儿童数概念的发生起始于原始的多少概念（1岁），经过机械唱数与图形认数（1岁半）的过渡.直到理解了具体1（2岁）时，才标志着概念的正式诞生。
（二）智力、成熟与教育的交互作用决定着儿童数概念的发生，但它们在不同阶段所起作用的大小不可等同看待。
（三）在儿童数概念的发生上个别差异很大，而性别差异则不存在。
